Unha xeneratriz calquera ten un punto común (1 e 2) con cada unha das circunferencias de contacto das esferas co cono, e un punto común A coa sección cónica producida polo plano secante.

Dado que A pertence á xeneratriz e ao plano, tanxentes a cada circunferencia, a distancia de A aos dous puntos de contacto é a mesma.

Por outra parte, dado que as circunferencias de contacto das esferas son perpendiculares ao eixe do cono, a distancia entre os puntos 1 e 2 é constante. Polo tanto, a distancia de A aos dous puntos de contacto das esferas co plano mantense constante, e sabemos que esta propiedade corresponde aos focos.

A denominación "Teorema de Dandelin" é recente. En rigor falaríamos de "Esferas de Dandelin" como un método de demostración de antigos teoremas como o da constancia da suma (ou diferencia) de distancias dos puntos dunha curva cónica aos focos. Este método, sinxelo e visual, remóntase ao século XIX e foi posible deducilo a partir dos traballos matemáticos de Dandelin e Quetelet, aínda que ningún deles chegou a utilizar as esferas para demostrar teoremas.