Sexan os vértices A,B,C, os lados opostos a,b,c, os pés das alturas D,E,F, e o Circuncentro O. Os segmentos OA, OB e OC miden R, raio da circunferencia circunscrita. Trátase de demostrar que as distancias s,t,u suman o mesmo que R e o raio r da circuferencia inscrita.

Fixándonos no vértice A, podemos definir tres triángulos semellantes: ABE, ACF e calquera das metades de OBC (o ángulo BOC, central, duplica o ángulo BAC, inscrito que abarca o mesmo arco). Da comparación dos tres triángulos temos:

AF/b = AE/c = s/R

Esta expresión pode transformarse en:

s(b+c) = R(AF+AE)

Facendo as mesmas comparacións a partir dos vértices B e C, temos:

s(b+c) = R(AF+AE)
t(c+a) = R(BD+BF)
u(a+b) = R(CD+CE)

Se sumamos os tres blocos da dereita vemos que equivalen a R polo perímetro. Pola contra, aos tres da esquerda aínda habería que sumar s·a, t·b e u·c para obter s+t+u polo perímetro. Esta diferencia é dúas veces a área do triángulo, como podemos deducir observando as áreas dos tres triángulos que forma o circuncentro O cos vértices:

 

O mesmo valor nos daría o incentro (dereita), coa particularidade de que as súas distancias aos tres lados (as tres alturas dos sub-triángulos) son iguais (r). Por iso deducimos que a diferencia á que antes nos referíamos é igual a r polo perímetro.

Resumindo: R polo perímetro + r polo perímetro igualan s+t+u polo perímetro. Polo tanto, R+r = s+t+u.