Cando Arquímedes descubriu esta relación xa se sabía que unha pirámide ocupa un tercio do volume do prisma coa mesma base e altura. No caso do cilindro isto cúmprese co cono. Arquímedes incorporou unha terceira figura semiesférica, e calculou a sección que produce nas tres un plano a diferentes alturas.

A revelación foi que a unha altura dada, as seccións circulares producidas no cono e na semiesfera suman sempre a producida no cilindro, que é invariable.

A semiesfera determina nas tres figuras a comparar unha altura igual ao raio da base, polo tanto a inclinación da superficie cónica é de 45º e o raio é igual á distancia d. Os tres círculos son proporcionais aos cadrados dos seus raios, e na esfera podemos demostrar que se cumple o teorema de Pitágoras, polo que, se o cono ocupa un tercio do volume do cono, a esfera ocupa os outros dous.

Comparación do volume da pirámide co prisma de igual base e altura

Este descubrimento foi tan grato ao propio Arquímedes, que fixo gravar na súa sepultura unha esfera inscrita nun cilindro.