Casuística: a) Sendo as circunferencias exteriores: Se a recta é exterior, oito solucións. Se é tanxente a unha circunferencia, seis. Se é tanxente común exterior ás dúas, catro solucións, e se é tanxente interior dúas. Se é secante a unha circunferencia ou ás dúas, catro solucións en calquera posición.

Se é secante a dúas circunferencias de igual radio e pasa polos centros ou a igual distancia de ambos os dous, dúas das catro solucións serían de radio infinito (R).
b) Sendo as circunferencias tanxentes exteriores: Se a recta é exterior, seis solucións. Se é tanxente a unha circunferencia, catro. Se é tanxente común exterior ás dúas, dúas solucións, e se é tanxente interior infinitas. Se é secante a unha circunferencia, tanxente ou non á outra, catro solucións.

Se é secante ás dúas, seis, non sendo que pase polo punto común, onde haberá tres, unha delas de radio 0 (P).
c) Sendo as circunferencias secantes: Se a recta é exterior, tanxente a unha circunferencia ou ás dúas, ou secante a unha, catro solucións.

Se é secante a unha e tanxente á outra, seis solucións, non sendo que pase por un punto común, onde haberá tres, unha delas de radio 0 (P). Se é secante ás dúas, oito solucións, salvo se pasa polos dous puntos comúns, que serán as dúas únicas solucións de radio 0 (P).
d) Sendo as circunferencias tanxentes interiores: Se a recta é exterior ou tanxente á maior, dúas solucións.

Se é a tanxente común, infinitas. Se é secante á maior e exterior ou tanxente á menor, catro solucións. Se é secante ás dúas, seis, non sendo que pase polo punto común, onde haberá tres, unha delas de radio 0 (P).

e) Sendo as circunferencias interiores ou concéntricas: Se a recta é exterior, ningunha solución. Se é tanxente á maior, dúas. Se é secante á maior, catro solucións, tanto se é exterior, tanxente ou secante á menor.

No caso xeral hai oito solucións.

1ª e 2ª solucións: Retírase a recta a unha distancia igual ao radio de B, que queda reducida a un punto, e réstase ao radio de A a mesma medida. Trázase o diámetro perpendicular a r onde o extremo C1 é o centro de inversión para que a’’ sea inversa de r’ e D1 de D’1. Localízase a circunferencia de centro E1 que pasa por D1, D’1 e B, definindo o inverso B’1.
Únese o centro de inversión C1 con B e prolóngase ata cortar r’ en P1. Únese P1 con E1 e localízase o punto medio M1 para con centro nel trazar un arco que pasa por E1, obténdose o punto para a tanxente N1. Con centro en P1 e radio a súa distancia a N1 un arco dará os puntos 1 e 2 en r’, que trasladados perpendicularmente a r dan os puntos de tanxencia T1 e T2 para as dúas primeras solucións. Os seus centros O1 e O2 están na mediatriz de B e o seu inverso B’1.
Os puntos de tanxencia coa circunferencia A, V1 e V2, así como os de tanxencia coa circunferencia B, X1 e X2, localízanse aliñando os centros correspondentes.

3ª e 4ª solucións: Achégase a recta a unha distancia igual ao radio de B, que queda reducida a un punto, e súmase ao radio de A a mesma medida. Trázase o diámetro perpendicular a r onde o extremo C2 é o centro de inversión para que a’ sea inversa de r’’ e D2 de D’2. Localízase a circunferencia de centro E2 que pasa por D2, D’2 e B, definindo o inverso B’2.
Únese o centro de inversión C2 con B e prolóngase ata cortar r’’ en P2. Únese P2 con E2 e localízase o punto medio M2 para con centro nel trazar un arco que pasa por E2, obténdose o punto para a tanxente N2. Con centro en P2 e radio a súa distancia a N2 un arco dará os puntos 3 e 4 en r’’, que trasladados perpendicularmente a r dan os puntos de tanxencia T3 e T4 para as dúas solucións. Os seus centros O3 e O4 están na mediatriz de B e o seu inverso B’2.
Os puntos de tanxencia coa circunferencia A, V3 e V4, así como os de tanxencia coa circunferencia B, X3 e X4, localízanse aliñando os centros correspondentes.

5ª e 6ª solucións: Achégase a recta a unha distancia igual ao radio de B, que queda reducida a un punto, e réstase ao radio de A a mesma medida. Trázase o diámetro perpendicular a r onde o extremo C1 é o centro de inversión para que a’’ sea inversa de r’’ e D1 de D’2. Localízase a circunferencia de centro E3 que pasa por D3, D’3 e B, definindo o inverso B’3.
Únese o centro de inversión C3 con B e prolóngase ata cortar r’’ en P3. Únese P3 con E3 e localízase o punto medio M3 para con centro nel trazar un arco que pasa por E3, obténdose o punto para a tanxente N3. Con centro en P3 e radio a súa distancia a N3 un arco dará os puntos 5 e 6 en r’’, que trasladados perpendicularmente a r dan os puntos de tanxencia T5 e T6 para as dúas solucións. Os seus centros O5 e O6 están na mediatriz de B e o seu inverso B’3.
Os puntos de tanxencia coa circunferencia A, V5 e V6, así como os de tanxencia coa circunferencia B, X5 e X6, localízanse aliñando os centros correspondentes.

7ª e 8ª solucións: Retírase a recta a unha distancia igual ao radio de B, que queda reducida a un punto, e súmase ao radio de A a mesma medida. Trázase o diámetro perpendicular a r onde o extremo C2 é o centro de inversión para que a’ sea inversa de r’ e D2 de D’1. Localízase a circunferencia de centro E4 que pasa por D4, D’4 e B, definindo o inverso B’4.
Únese o centro de inversión C4 con B e prolóngase ata cortar r’ en P4. Únese P4 con E4 e localízase o punto medio M4 para con centro nel trazar un arco que pasa por E4, obténdose o punto para a tanxente N4. Con centro en P4 e radio a súa distancia a N4 un arco dará os puntos 7 e 8 en r’, que trasladados perpendicularmente a r dan os puntos de tanxencia T7 e T8 para as dúas solucións. Os seus centros O7 e O8 están na mediatriz de B e o seu inverso B’4.
Os puntos de tanxencia coa circunferencia A, V7 e V8, así como os de tanxencia coa circunferencia B, X7 e X8, localízanse aliñando os centros correspondentes.