Casuística: Se a circunferencia e a recta son exteriores, e o punto é exterior, catro solucións. Se coincide cunha delas, dúas solucións. Se o punto é interior á circunferencia ou está ao outro lado da recta, ninguna.Se recta e circunferencia son tanxentes e o punto é exterior no mesmo semiplano que a circunferencia, tres solucións.

Se o punto está no outro semiplano, é interior á circunferencia, coincide con ésta ou coa recta, unha solución. Se coincide co punto de tanxencia, infinitas solucións.

Se recta e circunferencia son secantes, ninguna solución se o punto coincide cun dos de corte, e dúas solucións non resto dos casos.

No caso xeral hai catro solucións. Para localizalas definimos no plano unha inversión de centro o punto P e de valor o da potencia de P respecto da circunferencia c. Con isto conseguimos que estes dous elementos se transformen en sí mesmos, e só temos que localizar a figura inversa de r.

Calculamos a posición do punto A para unha recta tanxente dende P. Con radio o segmento PA, trazamos a circunferencia de puntos dobles Raiz de K, que corta á recta r en dous puntos. A circunferencia que pase por eles e por P é r’, inversa de r. (a figura inversa dunha recta que non pasa polo centro de inversión, é unha circunferencia que sí pasa por el)

Centrándonos nas circunferencias c’ (inversa de sí mesma) e r’ (inversa da recta), resolvemos o trazado das catro rectas tanxentes comúns, cos oito puntos de tanxencia correspondentes.

Ao desfacer a inversión, os puntos en r’ aliñados co centro de inversión P darán na recta r catro puntos de tanxencia auténticos. Os numerados en c’, aliñados con P darán outros catro puntos de tanxencia en c.

Coñecidos xa todos os puntos de tanxencia, aplicamos a cada par de puntos (uno en r e outro en c) obtidos dunha mesma recta tanxente na inversión, as normas básicas de tanxencia, trazando aliñamentos co centro C e perpendiculares á recta r, para obter os centros das catro solucións. Vólvese cumprir que aquelas catro rectas que non pasaban polo centro de inversión, desinvertidas serán catro circunferencias que sí pasan por el.