PCC: trazar circunferencias tanxentes a outras
dúas circunferencias e que pasen por un punto dado
Casuística: Se as circunferencias son exteriores, e o punto
é exterior, catro solucións. Se coincide cunha delas, dúas
solucións. Se o punto é interior a unha circunferencia, ningunha.
Se as circunferencias son tanxentes exteriores e o punto é exterior,
tres solucións. Se o punto coincide nunha circunferencia, unha. Se coincide
co punto de tanxencia, infinitas solucións.
Se o punto é interior a unha das circunferencias tanxentes,
unha solución. Se as circunferencias son secantes, dúas solucións
en todos os casos excepto se o punto coincide cun dos de corte, e ningunha neste
caso.
Se as circunferencias son tanxentes interiores, unha solución
se o punto é exterior ou coincide cunha delas. Se coincide co punto de
tanxencia, infinitas solucións, Se é interior a unha e exterior
a outra, dúas solucións.
Se o punto é interior ás dúas, unha solución.
Se as circunferencias son interiores ou concéntricas, ningunha solución
cando o punto é exterior ou interior ás dúas, dúas
solucións se coincide cunha delas, e catro se é interior a unha
e exterior a outra.
No caso xeral hai catro solucións. Para localizalas definimos
no plano unha inversión de centro o punto P e de valor o da potencia
de P respecto da circunferencia c. Con isto conseguimos que estes dous elementos
se transformen en sí mesmos, e só temos que localizar a figura
inversa da circunferencia d.
Calculamos a posición do punto A para unha recta tanxente
dende P. Con radio o segmento PA, trazamos a circunferencia de puntos dobles
Raiz de K, que corta á circunferencia d. Despóis cortamos as dúas
cunha circunferencia inversa de sí mesma, escollendo un centro O de forma
que os radios ON e PN sexan perpendiculares. A circunferencia d’ que pase
polos puntos dobles E, F, e polo punto Q, é a inversa de d.
Centrándonos nas circunferencias c’ (inversa de
sí mesma) e d’ (inversa de d), resolvemos o trazado das catro rectas
tanxentes comúns, cos oito puntos de tanxencia correspondentes.
Ao desfacer a inversión, os puntos en d’ aliñados
co centro de inversión P darán na circunferencia d catro puntos
de tanxencia auténticos. Os numerados en c’, aliñados con
P darán outros catro puntos de tanxencia en c.
Coñecidos xa todos os puntos de tanxencia, aplicamos a
cada par de puntos (un en c e outro en d) obtidos dunha mesma recta tanxente
na inversión, as normas básicas de tanxencia, trazando aliñamentos
cos centros correspondentes, para obter os das catro solucións. Cúmprese
que as catro rectas que non pasaban polo centro de inversión, desinvertidas
serán catro circunferencias que sí pasan por el.