NIVEL III
CCC: trazar circunferencias tanxentes a outras tres circunferencias dadas

 

Casuística: Sendo as tres circunferencias exteriores, oito solucións. Siendo dúas exteriores, se a terceira é tanxente exterior a unha delas, seis. Se é tanxente ás dúas, secante a una, tanxente a unha e secante á outra, ou secante ás dúas, catro solucións. Se é tanxente interior a unha delas, dúas solucións.

Se unha e é interior a outra e a terceira exterior, ningunha solución. Se as tres son tanxentes exteriores, dúas solucións. Se dúas son tanxentes e a terceira secante a ambas as dúas, seis, excepto se pasa polo punto de tanxencia, que serán dúas máis unha de radio 0 (P). Se dúas circunferencias son secantes, e a terceira é tanxente interior a unha delas ou tanxente exterior ás dúas, catro solucións.

Tamén son catro solucións se a terceira é tanxente exterior a unha e interior á outra, ou tanxente interior a ambas as dúas. Se as tres se cortan no mesmo par de puntos, éstes serán as dúas únicas solucións de radio 0 (P). Sendo unha interior a outra, se a terceira é interior á menor, non hai ningunha solución. Se é interior a unha e exterior á outra, hai oito. Se é tanxente exterior á maior, dúas solucións. Se é tanxente interior á maior e exterior á menor, seis.

Tamén son seis solucións se é interior á maior e tanxente exterior á menor. Se é tanxente a ambas as dúas, tanxente á maior e secante á menor, secante a unha delas ou ás dúas, catro solucións. Se é tanxente interior á menor, dúas.

Sendo dúas circunferencias tanxentes interiores, se a terceira é tanxente a ambas as dúas no mesmo punto común, existen infinitas solucións. Se é tanxente interior a unha e exterior á outra, tanxente exterior á maior ou tanxente interior á menor, dúas solucións. Se é tanxente interior á maior, e exterior ou secante á menor, catro.

Se é secante ás dúas, seis solucións, non sendo que pase polo punto común, onde haberá tres, unha delas de radio 0 (P).

No caso xeral hai oito solucións.

1ª e 2ª solucións: Reducimos nas tres circunferencias o radio de A, que queda reducida a un punto. Nunha inversión de centro A, na que b- é inversa de sí mesma, unha recta secante que pasa por A dá os puntos inversos D1 e E1. Con centro en calquer punto F1 da súa mediatriz, unha circunferencia que pasa por eles define en c- outros puntos G1 e H1, e pasa polos seus inversos G’1 e H’1. a mediatriz destes últimos permite localizar o centro C’1, aliñado con A e C, da circunferencia inversa de c-.
Situamos dúas rectas tanxentes comúns a esta circunferencia e a b- (as exteriores, xa que B e C minguaron o seu radio). Os catro puntos de tanxencia 1b, 1c, 2b e 2c, desinvertidos, dan os das circunferencias diminuidas Tb’1, Tc’1, Tb’2 e Tc’2, e a posición dos radios cos que fácilmente situamos os verdadeiros puntos comúns Tb1, Tc1, Tb2 e Tc2. Prolongando os radios localizamos os centros O1 e O2, e aliñando éstes con A, os puntos de tanxencia Ta1 e Ta2.

3ª e 4ª solucións: Reducimos nas circunferencias A e C o radio de A, e en B aumentámolo. Nunha inversión de centro A, na que b+ é inversa de sí mesma, unha recta secante que pasa por A dá os puntos inversos D2 e E2. Con centro en calquer punto F2 da súa mediatriz, unha circunferencia que pasa por eles define en c- outros puntos G2 e H2, e pasa polos seus inversos G’2 e H’2. a mediatriz destes últimos permite localizar o centro C’2, aliñado con A e C, da circunferencia inversa de c-.
Situamos dúas rectas tanxentes comúns a esta circunferencia e a b+ (as interiores, xa que B aumentou o seu radio e C minguouno). Os catro puntos de tanxencia 3b, 3c, 4b e 4c, desinvertidos, dan os das circunferencias diminuidas Tb’3, Tc’3, Tb’4 e Tc’4, e a posición dos radios cos que fácilmente situamos os verdadeiros puntos comúns Tb3, Tc3, Tb4 e Tc4. Prolongando os radios localizamos os centros O3 e O4, e aliñando éstes con A, os puntos de tanxencia Ta3 e Ta4.

5ª e 6ª solucións: Reducimos nas circunferencias A e B o radio de A, e en C aumentámolo. Nunha inversión de centro A, na que b- é inversa de sí mesma, unha recta secante que pasa por A dá os puntos inversos D3 e E3. Con centro en calquer punto F3 da súa mediatriz, unha circunferencia que pasa por eles define en c+ outros puntos G3 e H3, e pasa polos seus inversos G’3 e H’3. a mediatriz destes últimos permite localizar o centro C’3, aliñado con A e C, da circunferencia inversa de c+.
Situamos dúas rectas tanxentes comúns a esta circunferencia e a b- (as interiores, xa que C aumentou o seu radio e B minguouno). Os catro puntos de tanxencia 5b, 5c, 6b e 6c, desinvertidos, dan os das circunferencias diminuidas Tb’5, Tc’5, Tb’6 e Tc’6, e a posición dos radios cos que fácilmente situamos os verdadeiros puntos comúns Tb5, Tc5, Tb6 e Tc6. Prolongando os radios localizamos os centros O5 e O6, e aliñando éstes con A, os puntos de tanxencia Ta5 e Ta6.

7ª e 8ª solucións: Aumentamos en B e C o radio de A, reducindo ésta a un punto. Nunha inversión de centro A, na que b+ é inversa de sí mesma, unha secante dende A dá os inversos D4 e E4. Con centro en F4, unha circunferencia que pasa por eles define en c+ os puntos G4 e H4, e pasa polos seus inversos G’4 e H’4. a mediatriz destes últimos localiza o centro C’4, aliñado con A e C, da circunferencia inversa de c+.
Situamos as tanxentes comúns exteriores a esta circunferencia e a b+ (xa que ambas as dúas aumentaron o seu radio). Os puntos 7b, 7c, 8b e 8c, desinvertidos, dan nas circunferencias aumentadas Tb’7, Tc’7, Tb’8 e Tc’8, e os radios dos puntos Tb7, Tc7, Tb8 e Tc8. Prolongándoos localizamos O7 e O8, e aliñando éstes con A, os de tanxencia Ta7 e Ta8.

datos
solución
sol 1-2
sol 3-4
sol 5-6
sol 7-8
todo