CCC: trazar circunferencias tanxentes a outras
tres circunferencias dadas
Casuística: Sendo as tres circunferencias exteriores, oito
solucións. Siendo dúas exteriores, se a terceira é tanxente
exterior a unha delas, seis. Se é tanxente ás dúas, secante
a una, tanxente a unha e secante á outra, ou secante ás dúas,
catro solucións. Se é tanxente interior a unha delas, dúas
solucións.
Se unha e é interior a outra e a terceira exterior, ningunha
solución. Se as tres son tanxentes exteriores, dúas solucións.
Se dúas son tanxentes e a terceira secante a ambas as dúas, seis,
excepto se pasa polo punto de tanxencia, que serán dúas máis
unha de radio 0 (P). Se dúas circunferencias son secantes, e a terceira
é tanxente interior a unha delas ou tanxente exterior ás dúas,
catro solucións.
Tamén son catro solucións se a terceira é
tanxente exterior a unha e interior á outra, ou tanxente interior a ambas
as dúas. Se as tres se cortan no mesmo par de puntos, éstes serán
as dúas únicas solucións de radio 0 (P). Sendo unha interior
a outra, se a terceira é interior á menor, non hai ningunha solución.
Se é interior a unha e exterior á outra, hai oito. Se é
tanxente exterior á maior, dúas solucións. Se é
tanxente interior á maior e exterior á menor, seis.
Tamén son seis solucións se é interior á
maior e tanxente exterior á menor. Se é tanxente a ambas as dúas,
tanxente á maior e secante á menor, secante a unha delas ou ás
dúas, catro solucións. Se é tanxente interior á
menor, dúas.
Sendo dúas circunferencias tanxentes interiores, se a
terceira é tanxente a ambas as dúas no mesmo punto común,
existen infinitas solucións. Se é tanxente interior a unha e exterior
á outra, tanxente exterior á maior ou tanxente interior á
menor, dúas solucións. Se é tanxente interior á
maior, e exterior ou secante á menor, catro.
Se é secante ás dúas, seis solucións,
non sendo que pase polo punto común, onde haberá tres, unha delas
de radio 0 (P).
No caso xeral hai oito solucións.
1ª e 2ª solucións: Reducimos nas tres circunferencias
o radio de A, que queda reducida a un punto. Nunha inversión de centro
A, na que b- é inversa de sí mesma, unha recta secante que pasa
por A dá os puntos inversos D1 e E1. Con centro en calquer punto F1 da
súa mediatriz, unha circunferencia que pasa por eles define en c- outros
puntos G1 e H1, e pasa polos seus inversos G’1 e H’1. a mediatriz
destes últimos permite localizar o centro C’1, aliñado con
A e C, da circunferencia inversa de c-.
Situamos dúas rectas tanxentes comúns a esta circunferencia e
a b- (as exteriores, xa que B e C minguaron o seu radio). Os catro puntos de
tanxencia 1b, 1c, 2b e 2c, desinvertidos, dan os das circunferencias diminuidas
Tb’1, Tc’1, Tb’2 e Tc’2, e a posición dos radios
cos que fácilmente situamos os verdadeiros puntos comúns Tb1,
Tc1, Tb2 e Tc2. Prolongando os radios localizamos os centros O1 e O2, e aliñando
éstes con A, os puntos de tanxencia Ta1 e Ta2.
3ª e 4ª solucións: Reducimos nas circunferencias
A e C o radio de A, e en B aumentámolo. Nunha inversión de centro
A, na que b+ é inversa de sí mesma, unha recta secante que pasa
por A dá os puntos inversos D2 e E2. Con centro en calquer punto F2 da
súa mediatriz, unha circunferencia que pasa por eles define en c- outros
puntos G2 e H2, e pasa polos seus inversos G’2 e H’2. a mediatriz
destes últimos permite localizar o centro C’2, aliñado con
A e C, da circunferencia inversa de c-.
Situamos dúas rectas tanxentes comúns a esta circunferencia e
a b+ (as interiores, xa que B aumentou o seu radio e C minguouno). Os catro
puntos de tanxencia 3b, 3c, 4b e 4c, desinvertidos, dan os das circunferencias
diminuidas Tb’3, Tc’3, Tb’4 e Tc’4, e a posición
dos radios cos que fácilmente situamos os verdadeiros puntos comúns
Tb3, Tc3, Tb4 e Tc4. Prolongando os radios localizamos os centros O3 e O4, e
aliñando éstes con A, os puntos de tanxencia Ta3 e Ta4.
5ª e 6ª solucións: Reducimos nas circunferencias
A e B o radio de A, e en C aumentámolo. Nunha inversión de centro
A, na que b- é inversa de sí mesma, unha recta secante que pasa
por A dá os puntos inversos D3 e E3. Con centro en calquer punto F3 da
súa mediatriz, unha circunferencia que pasa por eles define en c+ outros
puntos G3 e H3, e pasa polos seus inversos G’3 e H’3. a mediatriz
destes últimos permite localizar o centro C’3, aliñado con
A e C, da circunferencia inversa de c+.
Situamos dúas rectas tanxentes comúns a esta circunferencia e
a b- (as interiores, xa que C aumentou o seu radio e B minguouno). Os catro
puntos de tanxencia 5b, 5c, 6b e 6c, desinvertidos, dan os das circunferencias
diminuidas Tb’5, Tc’5, Tb’6 e Tc’6, e a posición
dos radios cos que fácilmente situamos os verdadeiros puntos comúns
Tb5, Tc5, Tb6 e Tc6. Prolongando os radios localizamos os centros O5 e O6, e
aliñando éstes con A, os puntos de tanxencia Ta5 e Ta6.
7ª e 8ª solucións: Aumentamos en B e C o radio
de A, reducindo ésta a un punto. Nunha inversión de centro A,
na que b+ é inversa de sí mesma, unha secante dende A dá
os inversos D4 e E4. Con centro en F4, unha circunferencia que pasa por eles
define en c+ os puntos G4 e H4, e pasa polos seus inversos G’4 e H’4.
a mediatriz destes últimos localiza o centro C’4, aliñado
con A e C, da circunferencia inversa de c+.
Situamos as tanxentes comúns exteriores a esta circunferencia e a b+
(xa que ambas as dúas aumentaron o seu radio). Os puntos 7b, 7c, 8b e
8c, desinvertidos, dan nas circunferencias aumentadas Tb’7, Tc’7,
Tb’8 e Tc’8, e os radios dos puntos Tb7, Tc7, Tb8 e Tc8. Prolongándoos
localizamos O7 e O8, e aliñando éstes con A, os de tanxencia Ta7
e Ta8.